Question

4．已知函数f（x）=x²-2alnx，h（x）=2ax．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＞0时，关于x的方程f（x）=h（x）有唯一解，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，可知当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，由导函数的零点对定义域分段然后利用导函数在各区间段内的符号可得原函数的单调性；
（2）令g（x）=x²-2alnx-2ax，利用导数求其极小值点，结合g（x）=0有唯一解，可得$\left\{\begin{array}{l}{g（{x}_{0}）=0}\\{g′（{x}_{0}）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}-2aln{x}_{0}-2a{x}_{0}=0}\\{{{x}_{0}}^{2}-a{x}_{0}-a=0}\end{array}\right.$，求解得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-2alnx，
∴f′（x）=2x-$\frac{2a}{x}$=$\frac{2（{x}^{2}-{a}^{2}）}{x}$=$\frac{2（x+\sqrt{a}）（x-\sqrt{a}）}{x}$（x＞0），
当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，若x∈（0，$\sqrt{a}$），f′（x）＜0，f（x）在（0，$\sqrt{a}$）上单调递减．
若x∈（$\sqrt{a}$，+∞），f′（x）＞0，f（x）在（$\sqrt{a}$，+∞）上单调递增；
（2）令g（x）=x²-2alnx-2ax，
则g′（x）=2x-$\frac{a}{x}-2a$=$\frac{2{x}^{2}-2ax-2a}{x}$=$\frac{2}{x}（{x}^{2}-ax-a）$．
令g′（x）=0，得x²-ax-a=0，
∵a＞0，x＞0，
∴${x}_{0}=\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$．
当x∈（0，x₀）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（x₀，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
又g（x）=0有唯一解，
则$\left\{\begin{array}{l}{g（{x}_{0}）=0}\\{g′（{x}_{0}）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}-2aln{x}_{0}-2a{x}_{0}=0}\\{{{x}_{0}}^{2}-a{x}_{0}-a=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=1}\\{a=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴a=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．