Question

15．若x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y+1≤0\\ x+y-3≥0\\ y≤4\end{array}\right.$则z=ax+y的最小值为1，则正实数a的值为（　　）

• A． 10
• B． 8
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，要使z=ax+y取最小值为1，确定目标函数经过的点，然后根据条件即可求出a的值．

解答 解：作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-y+1≤0\\ x+y-3≥0\\ y≤4\end{array}\right.$对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=ax+y，得y=-ax+z，
∵z=ax+y的最小值为1，直线过（0，1），
∵a＞0，则目标函数的斜率k=-a＜0．
平移直线y=-ax+z，
由图象可知当直线y=-ax+z过B点时，
此时目标函数取得最小值1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=4}\\{x+y=3}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=4}\end{array}\right.$，∴B（-1，4）．
此时-a+4=1，即a=3．
故选：C．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z的几何意义是解决本题的关键．