Question

5．已知数列{a_n}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是2，若对满足m+n≤5的任意正整数m，n，均有a_m+a_n=a_m+n成立．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{n}+1}{{{a}_{n}}^{2}{{a}_{n+2}}^{2}}，n为奇数}\\{\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}，n为偶数}\end{array}\right.$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）对满足m+n≤5的任意正整数m，n，均有a_m+a_n=a_m+n成立．可得：m=n=1时，2a₁=a₂=a₁+2．m=1，n=2时，可得a₁+a₂=a₃=a₁+2，解得a₂=2，a₁=1．分奇偶项即可得出．
（2）b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{n}+1}{{{a}_{n}}^{2}{{a}_{n+2}}^{2}}，n为奇数}\\{\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}，n为偶数}\end{array}\right.$，可得n为奇数时，b_n=$\frac{n+1}{{n}^{2}（n+2）^{2}}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}）$．n为偶数时，b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$．因此：n为偶数时，数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{4}[\frac{1}{{1}^{2}}-\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}-\frac{1}{{5}^{2}}+…+\frac{1}{（n-1）^{2}}-\frac{1}{{n}^{2}}]$+$（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$．
n为奇数时，T_n=T_n-1+b_n，即可得出．

解答 解：（1）∵对满足m+n≤5的任意正整数m，n，均有a_m+a_n=a_m+n成立．
∴m=n=1时，2a₁=a₂=a₁+2．
m=1，n=2时，可得a₁+a₂=a₃=a₁+2，解得a₂=2，a₁=1．
∴n为奇数时，a_n=1+$2（\frac{n+1}{2}-1）$=n，n为偶数时，a_n=2×${2}^{\frac{n}{2}-1}$=${2}^{\frac{n}{2}}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n为奇数}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，n为偶数}\end{array}\right.$．
（2）b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{n}+1}{{{a}_{n}}^{2}{{a}_{n+2}}^{2}}，n为奇数}\\{\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}，n为偶数}\end{array}\right.$，∴n为奇数时，b_n=$\frac{n+1}{{n}^{2}（n+2）^{2}}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}）$．
n为偶数时，b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$．
因此：n为偶数时，数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{4}[\frac{1}{{1}^{2}}-\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}-\frac{1}{{5}^{2}}+…+\frac{1}{（n-1）^{2}}-\frac{1}{{n}^{2}}]$+$（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{（n+1）^{2}}）$+$\frac{\frac{1}{4}[1-（\frac{1}{4}）^{\frac{n}{2}}]}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{7}{12}$-$\frac{1}{4（n+1）^{2}}$-$\frac{1}{3×{2}^{n}}$．
∴n为奇数时，T_n=T_n-1+b_n=$\frac{7}{12}-\frac{1}{4{n}^{2}}$-$\frac{1}{3×{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{4}[\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}]$=$\frac{7}{12}$-$\frac{1}{4（n+2）^{2}}$-$\frac{1}{3×{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式及其性质、分类讨论方法、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．