Question

15．已知函数f（x）=|x-a|
（I） 若对x∈[0，4]不等式f（x）≤3恒成立，求实数a的取值范围；
（II） 当a=2时，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I） 先求得不等式f（x）≤3的解集为M，根据题意，[0，4]⊆M，由此求得实数a的取值范围．
（II） 利用绝对值三角不等式求得g（x）=f（x）+f（x+5）的最小值，可得m的范围．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）≤3，得|x-a|≤3，解得a-3≤x≤a+3，∴不等式f（x）≤3的解集M=[a-3，a+3]．
由题意可得[0，4]⊆M，∴$\left\{\begin{array}{l}{a-3≤0}\\{a+3≥4}\end{array}\right.$，求得1≤a≤3．
（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x-2|，设g（x）=f（x）+f（x+5）=|x-2|+|x+3|．
由|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5（当且仅当-3≤x≤2时等号成立），可得g（x）的最小值为5．
因此，若g（x）=f（x）+f（x+5）≥m对x∈R恒成立，知实数m的取值范围是（-∞，5]．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．