【题目】如图,一个正和一个平行四边形ABDE在同一个平面内,其中
,
,AB,DE的中点分别为F,G.现沿直线AB将
翻折成
,使二面角
为
,设CE中点为H.
(1)(i)求证:平面平面AGH;
(ii)求异面直线AB与CE所成角的正切值;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1) (i)证明见解析;(ii) (2)
【解析】
(1)(i)通过证明四边形为平行四边形证得
;通过三角形中位线证得
,由此证得平面
平面AGH.
(ii)根据和
判断
是两个异面直线
与
所成角.用勾股定理求得
,利用余弦定理求得
,由此求得异面直线
与
所成角的正切值.
(2)根据二面角的定义,判断出即为二面角
的平面角,利用余弦定理求得二面角的余弦值.
(1)(i)证明:连FD.因为ABDE为平行四边形,F、G分别为AB、DE中点,
所以FDGA为平行四边形,所以.-
又H、G分别为CE、DE的中点,所以.
FD、平面AGH,AG、
平面AGH,所以
平面AGH,
平面AGH,而FD、
平面CDF,所以平面
平面AGH.
(ii)因为,所以
或其补角即为异面直线AB与CE所成的角.
因为ABC为正三角形,,F为AB中点,所以
,
,从而
平面CFD,而
,所以
平面CFD,因为
平面CFD,所以
.-
由条件易得,
,又
为二面角
的平面角,所以
,所以
,所以
.
(2)由(1)的(ii)知平面CFD,即
,
,所以
即为二面角
的平面角.
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,在等腰梯形中,
,
,
,点
为
的中点.将
沿
折起,使点
到达
的位置,得到如图所示的四棱锥
,点
为棱
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)若平面平面
,求三棱锥
的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆的方程为
,点
,点M为圆
上的任意一点,线段
的垂直平分线与线段
相交于点N.
(1)求点N的轨迹C的方程.
(2)已知点,过点A且斜率为k的直线
交轨迹C于
两点,以
为邻边作平行四边形
,是否存在常数k,使得点B在轨迹C上,若存在,求k的值;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】首项为O的无穷数列同时满足下面两个条件:
①;②
(1)请直接写出的所有可能值;
(2)记,若
对任意
成立,求
的通项公式;
(3)对于给定的正整数,求
的最大值.
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