Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的极值；

（2）若，是否存在整数使对任意成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）极大值不存在极小值；（2）2

【解析】

（1）通过求导，令导函数等于零，求得为的极大值点，求解得到函数极大值，根据单调性可知无极小值；（2）将问题转化为：对任意，恒成立问题，分别在和两种情况下讨论；当时，由可知不合题意；当时，可求得最大值为，只需最大值即可，由此得到，经验证可得为满足题意的最小整数.

（1）

令，则

分析知，当时，；当时，

函数在区间上单调递增，在区间上单调递减

函数在处取得极大值，不存在极小值

（2）据题意，得对任意成立

对任意成立

设函数

可知对任意成立

①当时，对任意成立，此时在区间上单调递增

又

不满足题设；

②当时，

令，则（舍），

分析知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减

又函数在上单调递减

所求整数的最小值为