【题目】正方体的棱上(除去棱AD)到直线与的距离相等的点有个,记这个点分别为,则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点分别为:D1,BC的中点,B1C1的四等分点(靠近B1),假设D1与G重合,BC的中点为E,B1C1的四等分点(靠近B1)为F,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线AC1与平面EFG所成角的正弦值.
解:正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点分别为:
D1,BC的中点,B1C1的四等分点(靠近B1),
假设D1与G重合,BC的中点为E,B1C1的四等分点(靠近B1)为F,
以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
设AB=2,则E(1,2,0),F(,2,2),G(0,0,2),A(2,0,0),C1(0,2,2),
∴(),(),(﹣2,2,2),
设平面EFG的法向量(x,y,z),
则,即,取x=4,得(4,﹣3,﹣1).
设直线AC1与平面EFG所成角为θ,
则直线AC1与平面EFG所成角的正弦值为sinθ=|cos|.
故选:D.
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【题目】在湖南师大附中的校园歌手大赛决赛中,有6位参赛选手(1号至6号)登台演出,由现场的100位同学投票选出最受欢迎的歌手,各位同学须彼此独立地在投票器上选出3位侯选人,其中甲同学是1号选手的同班同学,必选1号,另在2号至6号选手中随机选2名;乙同学不欣赏2号选手,必不选2号,在其他5位选手中随机选出3名;丙同学对6位选手的演唱没有偏爱,因此在1号至6号选手中随机选出3名.
(1)求同学甲选中3号且同学乙未选中3号选手的概率;
(2)设3号选手得到甲、乙、丙三位同学的票数之和为X,求X的分布列和数学期望.
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1, )中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.
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【题目】某校从高一年级学生中随机抽取40名中学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段: , ,…, ,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中实数的值;
(2)若该校高一年级共有640人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数;
(3)若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取2名学生,求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
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【题目】如图,在多面体ABCDEF中,四边形ADEF为正方形,AD∥BC,AD⊥AB,AD=2BC=2.
(1)证明:平面ADEF⊥平面ABF.
(2)若平面ADEF⊥平面ABCD,二面角A-BC-E为30°,三棱锥A-BDF的外接球的球心为O,求异面直线OC与DF所成角的余弦值
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【题目】某市为了了解民众对开展创建文明城市工作以来的满意度,随机调查了40名群众,并将他们随机分成,两组,每组20人,组群众给第一阶段的创文工作评分,组群众给第二阶段的创文工作评分,根据两组群众的评分绘制了如图所示的茎叶图.
(Ⅰ)根据茎叶图比较群众对两个阶段的创文工作满意度评分的平均值和集中程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);
(Ⅱ)完成下面的列联表,并通过计算判断是否有的把握认为民众对两个阶段创文工作的满意度存在差异?
低于70分 | 不低于70分 | 合计 | |
第一阶段 | |||
第二阶段 | |||
合计 |
参考公式:,.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】定义:圆心到直线的距离与圆的半径之比称为“直线关于圆的距离比”.
(1)设圆求过点P的直线关于圆的距离比的直线方程;
(2)若圆与轴相切于点A且直线关于圆C的距离比求出圆C的方程.
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