Question

在平面直角坐标系xOy中，设点F，直线l：x＝－，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.

(1)求动点Q的轨迹方程C；

(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由．

Answer 1

解：(1)依题意知，点R是线段FP的中点，

且RQ⊥FP，

∴RQ是线段FP的垂直平分线．

∵|PQ|是点Q到直线l的距离．

点Q在线段FP的垂直平分线上，

∴|PQ|＝|QF|.

故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝2x(x＞0)．

(2)弦长|TS|为定值．理由如下：取曲线C上一点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，

圆的半径r＝|MA|＝，

则|TS|＝，

因为点M在曲线C上，所以x0＝，

所以|TS|＝2＝2，是定值．