Question

已知平面内一动点P到点F（0，1）的距离与点P到y=-1的距离相等．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程C；
（II）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线L₁，L₂，设L₁与轨迹C相交于点A，B，L₂与轨迹C相交于点D，E，当

AD

•

.

EB

的取到最小值时，求L₁直线的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线的一般式方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）直接由抛物线的定义求得动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设出两直线的参数方程，和抛物线方程联立后由线系方程中参数的几何意义得

AD

•

.

EB

的函数表达式，求出其最小值后进一步求得L₁直线的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵平面内一动点P到点F（0，1）的距离与点P到y=-1的距离相等，
∴P的轨迹是以F（0，1）为焦点，以y=-1为准线的抛物线，
其方程为x²=4y；
（Ⅱ）如图所示：

AD

=

AF

+

FD

，

BE

=

BF

+

FE

，

AD

•

BE

=

AF

•

BF

+

FD

•

FE

．
设直线L₁的参数方程为

x=tcosα y=1+tsinα

，
则L₂的参数方程为

x=tcos(α+90°) y=1+tsin(α+90°)

．
将L₁的参数方程代入抛物线方程得：t²cos²α-4tsinα-4=0，
∴

AF

•

BF

=-

4

cos2α

．
将L₂的方程代入抛物线方程得：t²sin²α-4tcosα-4=0，
∴

FD

•

FB

=-

4

sin2α

．

AD

•

EB

=-(

AF

•

BF

+

FD

•

FE

)=4(

1

cos2α

+

1

sin2α

)=

4

(sinαcosα)2

=

16

sin22α

．
当sin2α=1时，取最小值16．
此时α=45°，
∴直线L₁：

x= 2 2 t y=1+ 2 2 t

．
化为普通方程得：x-y+1=0．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用直线的参数方程中参数的几何意义解题的方法．是中档题．