Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB＝，AC＝3， BC＝2，P是△ABC内的一点．

（1）若△BPC是以BC为斜边的等腰直角三角形，求PA长；

（2）若∠BPC＝，求△PBC面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由三角形为等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，在三角形中，利用余弦定理求出的长即可；(2)在三角形中,由的度数表示出的度数，利用正弦定理表示出与 ,进而表示出三角形面积,利用正弦函数的值域确定出面积的最大值即可.

（1）由题设，∠PCA＝，PC＝，在△PAC中，由余弦定理得

PA2＝AC2＋PC2－2AC·PCcos＝5，于是PA＝．

（2）∠BPC＝，设∠PCB＝θ，则θ∈(0，)．

在△PBC中，∠PBC＝－θ．由正弦定理得＝＝，

得PB＝sinθ，PC＝sin(－θ)．

所以△PBC面积S＝PB·PCsin＝sin (－θ)sinθ＝sin(2θ＋)－．

当θ＝∈(0，)时，△PBC面积的最大值为．