Question

已知几何体由正方体和直三棱柱组成，其三视图和直观图（单位：cm）如图所示．设两条异面直线AQ和PD所成的角为θ，则cosθ=

 

．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：计算题,空间角

分析：先作出异面直线所成的角的平面角，即连接QC，再证明∠A₁QC为异面直线A₁Q、PD所成的角（或其补角），最后在△A₁QC中计算此角的余弦值即可．

解答： 解：这个几何体的直观图如图，这个几何体可看成是由正方体AC₁及直三棱柱B₁C₁Q₁-A₁D₁P的组合体，
由PQ∥CD，且PQ=CD，可知PD∥QC，
故∠A₁QC为异面直线A₁Q、PD所成的角（或其补角），
由题设知QA₁²=A₁B₁²+B₁Q²=2²+2=6，
CA₁=

3

×2=2

3

，取BC中点E，则QE⊥BC，
且QE=3，QC²=QE²+EC²=3²+1²=10，
由余弦定理，得cosθ=cos∠A₁QC=

6+10-12

2 6 • 10

=

15

15

．
故答案为：

15

15

．

点评：本题考查了空间想象能力，由三视图作出几何体的直观图，异面直线所成的角的定义及其求法．