Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c且cosB=

4

5

，b=2，则△ABC的面积的最大值是

 

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：利用余弦定理列出关系式，将cosB与b的值代入，利用基本不等式求出ac的最大值，再由cosB的值，求出sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答： 解：在△ABC中，cosB=

4

5

，b=2，
∴sinB=

1-cos2B

=

3

5

，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2ac•cosB，即4=a²+c²-

8

5

ac≥

2

5

ac，
∴ac≤10，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB≤3，
则△ABC的面积的最大值是3．
故答案为：3

点评：此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．