Question

设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则下列说法正确的为：

 

①f（1）＞ef（0），f（2014）＜e²⁰¹⁴f（0）
②f（1）＜ef（0），f（2014）＜e²⁰¹⁴f（0）
③f（1）＞ef（0），f（2014）＞e²⁰¹⁴f（0）
④3f（ln2）＞2f（ln3）
⑤3f（ln2）＜2f（ln3）
⑥3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数思想,导数的综合应用

分析：构造函数g（x）=

f(x)

ex

，则g′（x）＞0，得出g（x）是单调增函数；由此判定③正确，①②错误；⑤正确，④⑥错误．

解答： 解：令g（x）=

f(x)

ex

，则g′（x）=

f′(x)•ex-f(x)•ex

e2x

=

f′(x)-f(x)

ex

；
∵对任意x∈R，有f′（x）＞f（x），
∴g′（x）＞0，
即g（x）在R上是单调增函数；
∵1＞0，2014＞0；
∴g（1）＞g（0），g（2014）＞g（0）；
即

f(1)

e

＞

f(0)

e0

，

f(2014)

e2014

＞

f(0)

e0

；
∴f（1）＞ef（0），f（2014）＞e²⁰¹⁴f（0）；
∴①②错误，③正确；
又∵ln2＜ln3，
∴g（ln2）＜g（ln3），
即

f(ln2)

eln2

＜

f(ln3)

eln3

；
∴

f(ln2)

2

＜

f(ln3)

3

，
即3f（ln2）＜2f（ln3）；
∴⑤正确，④⑥错误；
综上，正确的序号是③⑤．
故答案为：③⑤．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，解题时应根据题意，构造函数，利用导数判定函数的单调性，利用函数的单调性判定选项是否正确，是综合题．