Question

15．设f'（x）是函数y=f（x）的导数，f''（x）是f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-2{x^2}+\frac{8}{3}$x+1，数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-7，则f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₈）=（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（2，1）对称，即f（x）+f（4-x）=2，即可得到结论．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-2{x^2}+\frac{8}{3}$x+1，
∴f′（x）=x²-4x+$\frac{8}{3}$，
∴f′（x）=2x-4，
令f″（x）=0，解得：x=2，
而f（2）=$\frac{8}{3}$-8+$\frac{8}{3}$×2+1=1，
故函数f（x）关于点（2，1）对称，
∴f（x）+f（4-x）=2，
∵a_n=2n-7，
∴a₁=-5，a₈=9，
∴f（a₁）+f（a₈）=2，
同理可得f（a₂）+f（a₇）=2，f（a₃）+f（a₆）=2，f（a₄）+f（a₅）=2，
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₈）=2×4=8，
故选：D

点评 本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．求和的过程中使用了倒序相加法．