Question

3．已知f（x）=|2x+3|-|2x-1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜2的解集；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）＞|3a-2|成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；
（Ⅱ）求出f（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）＜2，
等价于$\left\{\begin{array}{l}x＜-\frac{3}{2}\\-（2x+3）+（2x-1）＜2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-\frac{3}{2}≤x≤\frac{1}{2}\\（2x+3）+（2x-1）＜2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x＞\frac{1}{2}\\（2x+3）-（2x-1）＜2\end{array}\right.$，
得$x＜-\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{2}≤x＜0$，
即f（x）＜2的解集是（-∞，0）；
（Ⅱ）∵f（x）≤|（2x+3）-（2x-1）|=4，
∴f（x）_max=4，∴|3a-2|＜4，
解得实数a的取值范围是$（-\frac{2}{3}，2）$．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．