Question

7．已知a，b为常数，且a≠0，f（x）=ax²+bx，f（2）=0，方程f（x）=x有两个相等实数根．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的值域；
（3）若F（x）=f（x）-f（-x）+$\frac{m}{{x}^{2}}$，试判断F（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由f（2）=0，且f（x）=x有两个相等的实数根，求出a、b的值，从而得f（x）的解析式；
（2）根据（1）所求的解析式，判断x∈[1，2]上的单调性，然后求解即可；
（3）根据奇偶函数的定义进行判断和证明．

解答 解：（1）∵f（2）=0，∴4a+2b=0①；
又方程f（x）=x有两个相等的实数根，
即ax²+（b-1）x=0有两个相等的实数根，
∴（b-1）²=0②；
由①②可得，a=-$\frac{1}{2}$，b=1，
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x；
（2）由（1）知f（x）=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$，
显然函数f（x）在[1，2]上是减函数，
∴x=1时，y_max=$\frac{1}{2}$；x=2时，y_min=0．
∴x∈[1，2]时，函数的值域是[0，$\frac{1}{2}$]；
（3）∵F（x）=f（x）-f（-x）+$\frac{m}{{x}^{2}}$=2x+$\frac{m}{{x}^{2}}$，
m=0时，F（x）=2x，∵F（-x）=2（-x）=-2x=-F（x），
∴F（x）是奇函数，
m≠0时，F（x）是非奇非偶函数，不妨取x=1，
得F（-1）=-2+m≠-2-m=-（2+m）=-F（1），
即存在x₀=1使得F（-x₀）≠-F（x₀），
故F（x）是非奇非偶函数．

点评 本题主要考查函数的奇偶性和二次函数在闭区间上的值域问题，属于中档题．