Question

3．如图，边长为4的正方形ABCD中，AC与BD交于点O，$\overrightarrow{BE}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{CB}$，则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{OF}$等于（　　）

• A． -3
• B． 3
• C． -5
• D． 5

Answer 1

分析 根据题意，用正方形的边表示向量$\overrightarrow{AE}$、$\overrightarrow{OF}$，求出$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{OF}$即可．

解答 解：边长为4的正方形ABCD中，AC与BD交于点O，
$\overrightarrow{BE}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）+$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AD}$，
$\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{AO}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{OF}$=（$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AD}$）•（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AD}$）
=$\frac{1}{8}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{7}{16}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$+$\frac{3}{16}$${\overrightarrow{AD}}^{2}$
=$\frac{1}{8}$×4²+$\frac{7}{16}$×0+$\frac{3}{16}$×4²=5．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是基础题．