Question

14．已知F为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，抛物线的准线与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于A、B两点．若△AFB为直角三角形，则双曲线的离心率为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由已知条件推导出A，B两点的纵坐标，△AFB为直角三角形，$\frac{pb}{2a}$=p，由此能求出双曲线的离心率．

解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
∴双曲线的渐近线方程是y=±$\frac{b}{a}$x，
抛物线y²=2px的焦点坐标（$\frac{p}{2}，0$），
又∵抛物线y²=2px的准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y²=2px的准线分别交于A，B两点，
∴A，B两点的纵坐标分别是y=$\frac{pb}{2a}$ 和y=-$\frac{pb}{2a}$，
∵△AFB为直角三角形，∴$\frac{pb}{2a}$=p，即b=2a，c²-a²=4a²，
∴e=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查抛物线解得性质以及双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．