Question

4．已知函数f（x）=sinx，g（x）=e^x•f′（x），其中e为自然对数的底数．
（I）求曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，不等式g（x）≥x•f（x）+m恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）试探究当x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]时，方程g（x）=x•f（x）的解的个数，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出g（x）的导数，求得切线的斜率和切点坐标，运用点斜式方程即可得到切线方程；
（Ⅱ）等价于对任意x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，m≤[g（x）-x•f（x）]_min．设h（x）=g（x）-xf（x）=e^xcosx-xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，0]．求出h（x）的导数，求得单调区间和最小值，即可得到m的范围；
（Ⅲ）设H（x）=g（x）-xf（x）=e^xcosx-xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．讨论①当x∈[-$\frac{π}{2}$，0]时，②当x∈（0，$\frac{π}{4}$]时，g（x）＞xf（x）恒成立，③当x∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]时，通过导数的符号判断单调性，结合零点存在定理，即可得到方程解的个数．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=sinx，g（x）=e^x•f′（x）=e^xcosx，
g（0）=e⁰cos0=1，g′（x）=e^x（cosx-sinx），
曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线斜率为k=e⁰（cos0-sin0）=1，
所以曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程为y-1=x-0．即为x-y+1=0．
（Ⅱ）等价于对任意x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，m≤[g（x）-x•f（x）]_min．
设h（x）=g（x）-xf（x）=e^xcosx-xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，0]．
则h′（x）=e^xcosx-e^xsinx-sinx-xcosx=（e^x-x）cosx-（e^x+1）sinx
因为x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，所以（e^x-x）cosx≥0，sinx∈[-1，0]
所以h′（x）＞0，故h（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]单调递增，
因此当x=-$\frac{π}{2}$时，函数h（x）取得最小值h（-$\frac{π}{2}$）=-$\frac{π}{2}$；
所以m≤-$\frac{π}{2}$，即实数m的取值范围是（-∞，-$\frac{π}{2}$]；
（Ⅲ）设H（x）=g（x）-xf（x）=e^xcosx-xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．
①当x∈[-$\frac{π}{2}$，0]时，由（Ⅱ）知，函数H（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]单调递增，
故函数H（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]至多只有一个零点，
又H（0）=1＞0，H（-$\frac{π}{2}$）=-$\frac{π}{2}$＜0，而且函数H（x）图象在[-$\frac{π}{2}$，0]上是连续不断的，
因此，函数H（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上有且只有一个零点．
②当x∈（0，$\frac{π}{4}$]时，g（x）＞xf（x）恒成立．证明如下：
设φ（x）=e^x-x，x∈[0，$\frac{π}{4}$]，则φ′（x）=e^x-1≥0，所以φ（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上单调递增，
所以x∈（0，$\frac{π}{4}$]时，φ（x）＞φ（x）=1，所以e^x＞x＞0，
又x∈（0，$\frac{π}{4}$]时，cosx≥sinx＞0，所以e^xcosx＞xsinx，
即g（x）＞xf（x），即H（x）＞0．
故函数H（x）在（0，$\frac{π}{4}$]上没有零点．
③当x∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]时，H′（x）=e^x（cosx-sinx）-（sinx+xcosx）＜0，
所以函数H（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上单调递减，
故函数H（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]至多只有一个零点，
又H（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（${e}^{\frac{π}{4}}$-$\frac{π}{4}$）＞0，H（$\frac{π}{2}$）=-$\frac{π}{2}$＜0，
而且函数H（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上是连续不断的，
因此，函数H（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上有且只有一个零点．
综上所述，当x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]时，方程g（x）=x•f（x）有两个解．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义，同时考查单调性的运用和函数的零点存在定理，运用参数分离和分类讨论的思想方法是解题的关键．