Question

已知函数f（x）=ax³-x²+ln（x+1）（a∈R），在x=1处的切线与直线3x-2y+5=0平行．
（1）当x∈[0，+∞）时，求f（x）的最小值；
（2）求证：+++…+＜ln（n+1）（n≥2且n∈N）．

Answer 1

解：（1）由已知f′（x）=3ax²-2x+
∵函数f（x）在x=1处的切线与直线3x-2y+5=0平行
∴f′（1）=3a-2+=
∴a=1
∴f（x）=x³-x²+ln（x+1），f′（x）=3x²-2x+＞0 （x≥0）
∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴[f（x）]_min=f（0）=0
（2）令x=．（n∈N^*） 则：f（）＞0
∴-+ln（1+）＞0
即：＜ln（1+）
∴＜ln（1+），，…，＜ln（1+）
∴++…+＜ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）=ln（•…）=ln＜ln（n+1）
∴不等式成立．
分析：（1）先利用导数的四则运算计算函数f（x）的导函数f′（x），再利用导数的几何意义求得a的值，最后证明函数当x∈[0，+∞）时的单调性，利用单调性求函数最值；（2）利用（1）中的结论，即f（x）在[0，+∞）上恒大于或等于零，结合所证不等式的形式，只需设x=，即可构造两个具有不等关系的数列，分别求和即可证明所证不等式
点评：本题综合考查了函数与数列的应用，导数的几何意义，利用导数证明函数的单调性进而求函数最值得方法，利用函数不等式证明数列不等式的方法．