Question

17．（1）用定义证明函数：f（x）=1-x在（-∞，+∞）为减函数．
（2）已知函数：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-1（x＜1）}\\{\frac{2}{x}（x＞2）}\end{array}\right.$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用定义证明即可．
（2）根据分段函数的定义域范围和单调性求解，可得f（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）=1-x，其定义域为（-∞，+∞）
证明：设x₁＜x₂，
则：f（x₁）-f（x₂）=1-x₁--1+x₂
∵x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
故得f（x）=1-x在（-∞，+∞）为减函数．
（2）函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-1（x＜1）}\\{\frac{2}{x}（x＞2）}\end{array}\right.$，
当x＜1时，f（x）=x-1，根据一次函数的性质可知，f（x）在（-∞，1）为减函数，∴f（x）值域为（-∞，0）
当x＞2时，f（x）=$\frac{2}{x}$，根据反比例函数的性质可知，f（x）在（2，+∞）为减函数，∴f（x）值域为（0，1）
综上可得函数f（x）的值域为（-∞，0）∪（0，1）．

点评 本题考察了单调性的定义证明和分段函数的值域的求法．比较基础．