Question

19．已知复数z=（a-1）+i，（a∈R）是纯虚数，则复数$\frac{2+\sqrt{2}i}{a-i}$的模等于$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 解法一：复数z=（a-1）+i，（a∈R）是纯虚数，可得a-1=0，解得a．利用复数的运算法则化简复数$\frac{2+\sqrt{2}i}{a-i}$，再利用模的计算公式即可得出．
解法二：复数z=（a-1）+i，（a∈R）是纯虚数，可得a-1=0，解得a．代入复数$\frac{2+\sqrt{2}i}{a-i}$，利用复数积的模的运算性质即可得出．

解答 解：解法一：复数z=（a-1）+i，（a∈R）是纯虚数，∴a-1=0，解得a=1．
则复数$\frac{2+\sqrt{2}i}{a-i}$=$\frac{2+\sqrt{2}i}{1-i}$=$\frac{（2+\sqrt{2}i）（1+i）}{（1-i）（1+i）}$=$\frac{2-\sqrt{2}+（2+\sqrt{2}）i}{2}$，
则复数|$\frac{2+\sqrt{2}i}{a-i}$|=$\sqrt{（\frac{2-\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{2+\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
解法二：复数z=（a-1）+i，（a∈R）是纯虚数，∴a-1=0，解得a=1．
则复数$\frac{2+\sqrt{2}i}{a-i}$=$\frac{2+\sqrt{2}i}{1-i}$，
则复数|$\frac{2+\sqrt{2}i}{a-i}$|=$\frac{|2+\sqrt{2}i|}{|1-i|}$=$\frac{\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了复数的有关概念及其运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．