Question

11．某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？

P（Х2≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

附：Х²=$\frac{{n{{（{n_{11}}{n_{22}}-{n_{12}}{n_{21}}）}^2}}}{{{n_{1+}}{n_{2+}}{n_{+1}}{n_{+2}}}}$
（注：此公式也可以写成K²=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据分层抽样原理，结合频率分布直方图，求出每组应抽取的人数；
（2）据2×2列联表，代入求临界值的公式，求出观测值，利用观测值同临界值表进行比较，K²≈1.786＜2.706，没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．

解答 解：（Ⅰ）由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．
所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），记为A₁，A₂，A₃；
25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），记为B₁，B₂；
从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₂，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂），
其中，至少1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂），
故所求的概率P=0.7．
（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.05=3（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.05=2（人），
据此可得2×2列联表如下：

	生产能手	非生产能手	合计
25周岁以上组	15	45	60
25周岁以下组	15	25	40
合计	30	70	100

∴K²=$\frac{100（15×25-15×45）^{2}}{60×40×30×70}$≈1.79＜2.706，
∴没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．

点评 本题考查根据频率分布直方图的应用，考查独立性检验的概率情况，以及随机分布的概率的计算，考查运算能力，属于中档题．