Question

16．已知函数f（x）=-x³+ax²-3x，g（x）=2x²ln|x|．
（1）若函数f（x）在R上是单调函数，求实数a的取值范围；
（2）判断函数g（x）的奇偶性，并写出g（x）的单调区间；
（3）若对一切x∈（0，+∞），函数f（x）的图象恒在g（x）图象的下方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据判别式△≤0，求出a的范围即可；
（2）求出g（x）是偶函数，求出x＞0时，函数的单调性，从而求出函数g（x）的单调区间；
（3）问题转化为$a＜x+\frac{3}{x}+2lnx$在x∈（0，+∞）上恒成立，令$h（x）=x+\frac{3}{x}+2lnx$，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）由f（x）=-x³+ax²-3x，得f'（x）=-3x²+2ax-3，
因为函数f（x）在R上是单调函数，所以f'（x）≤0在R上恒成立，
所以△=4a²-4×9≤0，解得-3≤a≤3．   …（3分）
（2）由g（x）=2x²ln|x|，知定义域（-∞，0）∪（0，+∞）
所以定义域关于原点对称                  …（5分）
当g（-x）=2（-x）²ln|-x|=2x²ln|x|=g（x）
所以函数g（x）是偶函数．…（7分）
当x＞0时，g（x）=2x²lnx，$g′（x）=4xlnx+2{x^2}\frac{1}{x}=2x（{2lnx+1}）$，
令 g′（x）=0，得$x={e^{-\frac{1}{2}}}$，…（9分）
且$x∈（{0，{e^{-\frac{1}{2}}}}）$时，$g′（x）＜0；x∈（{{e^{-\frac{1}{2}}}，+∞}），g′（x）＞0$
结合偶函数的对称性，知函数g（x）的单调增区间是：$（{-{e^{-\frac{1}{2}}}，0}），（{{e^{-\frac{1}{2}}}，+∞}）$
单调减区间是：$（{-∞，-{e^{-\frac{1}{2}}}}），（{0，{e^{-\frac{1}{2}}}}）$．     …（11分）
（3）题意即为f（x）＜g（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，
即$a＜x+\frac{3}{x}+2lnx$在x∈（0，+∞）上恒成立．…（13分）
令$h（x）=x+\frac{3}{x}+2lnx$，则$h′（x）=\frac{{（{x+3}）（{x-1}）}}{x^2}$，
令$h′（x）=\frac{{（{x+3}）（{x-1}）}}{x^2}=0$，得x=1，
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0
所以h（x）_min=h（1）=4，所以a＜4．…（16分）

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性以及函数最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．