Question

9．如图，已知AB为圆O的直径，C，D是圆O上的两个点，C是劣弧$\widehat{BD}$的中点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F．
（1）求证：CF=FG
（2）求证：DG•AC=AG•CE．

Answer 1

分析 （1）证明∠ACE=∠CGF，即可证明CF=FG
（2）证明Rt△ADG∽Rt△AEC，即可证明：DG•AC=AG•CE．

解答 证明：（1）∵C是劣弧BD的中点，∴∠DAC=∠CAB
在Rt△ADG与Rt△AEC中，∠ADB=∠AEC=90°，∴∠DGA=∠ACE，
又∠DGA=∠CGF，所以∠ACE=∠CGF．
从而，在△CGF中，CF=FG…（5分）
（2）在Rt△ADG与Rt△AEC中，∠DAC=∠CAB
因此，Rt△ADG∽Rt△AEC，由此可得$\frac{DG}{AG}=\frac{CE}{AC}$，即DG•AC=AG•CE…（10分）

点评 本题考查的知识点圆周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根据AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键．