Question

【题目】如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，,点为的中点.

（1）求证： 平面；

（2）设在线段上存在点，使二面角的大小为，求此时的长及点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

(1) 连结AD1，交A1D于点O，由EO为△ABD1的中位线，能证明BD1∥平面A1DE;

(2) 以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量坐标法即可得到结果.

（1）证明：连结AD1，交A1D于点O，

∵四边形ADD1A1为正方形，

∴O是AD1的中点，∵点E为AB的中点，连接OE．

∴EO为△ABD1的中位线，∴EO∥BD1，

又∵BD1不包含于平面A1DE，OE平面A1DE，

∴BD1∥平面A1DE．

（2）由题意可得：,以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

B ( 1,2,0 ),E(1,1,0),

设

设平面的法向量为

则 得

取是平面的一个法向量，而平面的一个法向量为 要使二面角的大小为

而

解得：，故=，此时

故点E到平面的距离为