Question

20．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴的正半轴上，过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，且满足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-\frac{3}{4}$．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若点M在抛物线C的准线上运动，其纵坐标的取值范围是[-1，1]，且$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=9$，点N是以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线的一个公共点，求点N的纵坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出抛物线方程，联立方程$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=2px}\\{x=ty+\frac{p}{2}}\end{array}}\right.$消去x得：y²-2pty-p²=0，利用韦达定理及向量的数量积公式，求出p，即可求抛物线的方程；
（2）由（1）知，${x_1}{x_2}=\frac{1}{4}，{y_1}{y_2}=-1，{y_1}+{y_2}=2t$，结合$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=9$，确定t的范围，根据抛物线的定义可知，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，可得点N的纵坐标为$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=t$，即可求出点N的纵坐标的取值范围．

解答 解：（1）设抛物线的标准方程为y²=2px（p＞0），其焦点F的坐标为$（\frac{p}{2}，0）$
直线l的方程为$x=ty+\frac{p}{2}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=2px}\\{x=ty+\frac{p}{2}}\end{array}}\right.$消去x得：y²-2pty-p²=0，
所以${y_1}+{y_2}=2pt，{y_1}{y_2}=-{p^2}，{x_1}{x_2}=（t{y_1}+\frac{p}{2}）（t{y_2}+\frac{p}{2}）=\frac{p^2}{4}$，
因为$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=-\frac{{3{p^2}}}{4}=-\frac{3}{4}$，解得p=1，
所以所求抛物线C的标准方程为y²=2x．
（2）设点$M（-\frac{1}{2}，m），-1≤m≤1$，
由（1）知，${x_1}{x_2}=\frac{1}{4}，{y_1}{y_2}=-1，{y_1}+{y_2}=2t$，所以${x_1}+{x_2}=2{t^2}+1$，
因为$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=（{x_1}+\frac{1}{2}）（{x_2}+\frac{1}{2}）+（{y_1}-m）（{y_2}-m）={（t-m）^2}$，
所以（t-m）²=9得t=m+3或t=m-3，
因为-1≤m≤1，∴2≤t≤4或-4≤t≤-2，
由抛物线定义可知，以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，
所以点N的纵坐标为$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=t$，
所以点N的纵坐标的取值范围是[-4，-2]∪[2，4]．

点评 本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．