Question

15．已知变量x，y满足约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-3≥0}\\{2x-y-9≤0}\\{y≤2}\end{array}}\right.$，若使z=ax+y（a＞0）取得最小值的最优解有无穷多个，则实数a=1．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，要使z=ax+y取最小值的最优解有无穷多个，则目标函数和其中一条直线平行，然后根据条件即可求出a的值．

解答 解：作出不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-3≥0}\\{2x-y-9≤0}\\{y≤2}\end{array}}\right.$对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=ax+y，得y=-ax+z，
a＞0，则目标函数的斜率k=-a＜0．
平移直线y=-ax+z，
由图象可知当直线y=-ax+z和直线x+y=3平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，
此时-a=-1，即a=1．
故答案为：1．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z的几何意义是解决本题的关键．