Question

17．设正数x，y满足$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤a•$\sqrt{x+y}$恒成立，则a的最小值是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先用分离参数法将问题等价为：a≥[$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$]_max，再用基本不等式$a+b≤\sqrt{2（a^2+b^2）}$，求该式的最大值．

解答 解：因为x，y都为正数，且$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤a•$\sqrt{x+y}$恒成立，
分离参数a得，a≥$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$，
所以，a≥[$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$]_max，
根据基本不等式：$a+b≤\sqrt{2（a^2+b^2）}$得，
$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤$\sqrt{2（x+y）}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{x+y}$，
所以，$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$≤$\sqrt{2}$，
所以，[$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$]_max=$\sqrt{2}$，因此，a≥$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，运用分离参数法，属于中档题．