Question

直线y=kx+m（m≠0）与W：

x2

4

+y²=1相交于A，C两点，O是坐标原点，当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：欲证明四边形OABC不可能为菱形，只须证明若OA=OC，则A、C两点的横坐标相等或互为相反数．设OA=OC=r，则A、C为圆x²+y²=r²与椭圆W：

x2

4

+y²=1的交点，从而解得

3x2

4

=r2-1，则A、C两点的横坐标相等或互为相反数．于是结论得证．

解答： 证明：如图，
假设四边形OABC为菱形，则有OA=OC，
设OA=OC=r，则A、C为圆x²+y²=r²与椭圆W：

x2

4

+y²=1的交点，
故

3x2

4

=r2-1，x²=

4

3

(r2-1)，则A、C两点的横坐标相等或互为相反数．
从而得到点B是W的顶点．这与题设矛盾．
于是结论得证．

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系，考查等价转化思想，属于中档题．