Question

已知锐角三角形△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，tanB=

3 ac

a2+c2-b2

．
（1）求sin（B+10°）[1-

3

tan（B-10°）]的值；
（2）若b=1，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,同角三角函数基本关系的运用,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（1）通过余弦定理及已知条件，求的sinB的值，又因在三角形内，进而求出B．利用切化弦求出结果即可．
（2）通过正弦定理求出a+c的表达式，然后求解范围即可．

解答： 解：（1）锐角三角形△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，tanB=

3 ac

a2+c2-b2

．
∴sinB=

3

2

∴B=60°，
sin（B+10°）[1-

3

tan（B-10°）]=sin70°[1-

3

tan50°]
=sin70°[1-

3

sin50°

cos50°

]=sin70°[

cos50°- 3 sin50°

cos50°

]
=-2sin70°

sin20°

cos50°

=-

sin40°

cos50°

=-1．
（2）由正弦定理可知a+c=

2 3

3

sinA+

2 3

3

sinC=

2 3

3

sinA+

2 3

3

sin(

2π

3

-A)=

2 3

3

(

3

2

sinA+

3

3

cosA)=2sin(A+

π

6

)，
∵A∈(0，

π

2

)，

2π

3

-A∈(0，

π

2

)．∴A∈(

π

6

，

π

2

)，
∴A+

π

6

∈(

π

3

，

2π

3

)
因此a+c=2sin(A+

π

6

)∈(

3

，2]，∴a+b+c∈（1+

3

，3]        …（14分）

点评：本题主要考查余弦定理及三角中的切化弦．很多人会考虑对于角B的取舍问题，而此题两种都可以，因为我们的过程是恒等变形．条件中也没有其它的限制条件，所以有的同学就多虑了．虽然此题没有涉及到取舍问题，但在平时的练习过程中一定要注意此点