Question

已知关于x的不等式（kx-k²-4）（x-4）＞0，其中k∈R．
（1）当k=1时，求不等式的解集；
（2）当k变化时，试求不等式的解集A．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）把k=1代入不等式化简后，直接求出不等式的解集即可；
（2）先对k的取值分类讨论：当k=0时直接求出解集A，当k≠0时把不等式化为：k(x-

k2+4

k

)(x-4)＞0，再分k＜0和k＞0分两种情况，当k＞0时需要利用基本不等式，判断出两个根的大小关系，此时还对k进行分类讨论，再分别求出解集A．

解答： 解：（1）当k=1时，不等式为（x-5）•（x-4）＞0，解得x＞5或x＜4，
即解集是（-∞，4）∪（5，+∞）（4分）
（2）当k变化时，可对k的取值分类讨论：
①当k=0时，不等式为：-4（x-4）＞0，解得x＜4，即A=（-∞，4）（6分）
当k≠0时，不等式可化为：k(x-

k2+4

k

)(x-4)＞0
②当k＜0时，不等式为(x-

k2+4

k

)(x-4)＜0，且

k2+4

k

＜4，
解得：

k2+4

k

＜x＜4，即A=(

k2+4

k

，4)         （8分）
③当k＞0时，不等式为(x-

k2+4

k

)(x-4)＞0，
又

k2+4

k

=k+

4

k

≥4，当且仅当k=

4

k

，即k=2时取等号，
所以当k=2时，不等式为（x-4）²＞0，解得x≠4，则A=（-∞，4）∪（4，+∞）（10分）
当k＞0且k≠2时，

k2+4

k

＞4，则A═（-∞，4）∪（

k2+4

k

，+∞）（12分）

点评：本题考查一元二不等式的解法，基本不等式，以及分类条论思想的应用，注意分类讨论的标准，属于中档题．