【题目】已知数列{an}(n∈N*)满足:a1=1,an+1-sin2θ·an=cos 2θ·cos2nθ,其中θ∈.
(1)当θ=时,求数列{an}的通项公式;
(2)在(1)的条件下,若数列{bn}满足bn=sin+cos
(n∈N*,n≥2),且b1=1,求证:对任意的n∈N*,1≤bn≤
恒成立.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】分析:(1)将θ=代入可得an+1-
an=0,即
=
,从而可得{an}的通项公式;
(2)由(1)得an=,所以当n∈N*,n≥2时,
,从而即可证明.
详解:(1)当θ=时,sin2θ=
,cos 2θ=0,所以an+1-
an=0,即
=
.所以数列{an}是首项为1,公比为
的等比数列,即数列{an}的通项公式为an=
(n∈N*).
(2)证明:由(1)得an=,所以当n∈N*,n≥2时,
bn=sin+cos
=sin
+cos
·
=sin
+cos
=
sin
,
易知b1=1也满足上式,
所以bn=sin
(n∈N*).
因为n∈N*,所以0<≤
,
<
+
≤
,
所以1≤sin
≤
,即对任意的n∈N*,1≤bn≤
恒成立.
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【题目】某厂家举行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用为x万元时,销售量t万件满足t=5- (其中0
x
a,a为正常数),现假定生产量与销售量相等,已知生产该产品t万件还需投入成本(10+2t)万元(不含促销费用),产品的销售价格定为5+
万元/万件.
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数;
(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.
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【题目】长方体中,O是坐标原点,OA是
轴,OC是
轴,
是
轴.E是AB中点,F是
中点,OA=3,OC=4,
=3,则F坐标为( )
A. (3,2,) B. (3,3,
)
C. (3,,2) D. (3,0,3)
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【题目】已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量=(a,b),
=(sin B,sin A),
=(b-2,a-2).
(1)若∥
,求证:△ABC为等腰三角形;
(2)若⊥
,边长c=2,∠C=
,求△ABC的面积.
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【题目】手机完全充满电量,在开机不使用的状态下,电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间。
为了解A,B两个不同型号手机的待机时间,现从某卖场库存手机中随机抽取A,B两个型号的手机各5台,在相同条件下进行测试,统计结果如下:
手机编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
A型待机时间(h) | 120 | 125 | 122 | 124 | 124 |
B型待机时间(h) | 118 | 123 | 127 | 120 | a |
已知A,B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等。
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求A型号被测试手机待机时间方差和标准差的大小;
(Ⅲ)从被测试的手机中随机抽取A,B型号手机各1台,求至少有1台的待机时间超过122小时的概率。
(注:n个数据…
的方差
…
,其中
为数据
…
的平均数)
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