Question

【题目】已知数列满足:.

(1)若，求数列的通项公式；

(2)设数列的前项和为，且试确定的值，使得数列为等差数列；

(3)将数列中的部分项按原来顺序构成新数列，且，求证:存在无数个满足条件的无穷等比数列.

Answer 1

【答案】（1）；（2），数列为等差数列；

（3）详见解析

【解析】

（1）由，两边平方化简可得，则数列是以1为首项，以4为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式即可求得，即可求得数列的通项公式；

（2）由（1）可得化简整理，得利用等差数列的通项公式可得：，即，当时，，化为，取即可得出；

（3）令等比数列的公比，则，设，可得，．因为为正整数，可得数列是数列中包含的无穷等比数列，进而证明结论．

解：（1），则，

数列是以1为首项，以4为公差的等差数列，则，

，

数列的通项公式；

（2）由（1）可得，

，，

，

数列是等差数列，首项为，公差为1．，

，

当时，，化为，

若数列为等差数列，则上式对于时也成立，

，解得．为等差数列．

，数列为等差数列；

（3）证明：由（1）可得．

令等比数列的公比，则，

设，因为，

所以，

，

因为为正整数，

所以数列是数列中包含的无穷等比数列，

因为公比有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，

故无穷等比数列有无数个．