Question

19．已知抛物线C：y²=2px（p≠0）的焦点F在直线2x+y-2=0上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知点P是抛物线C上异于坐标原点O的任意一点，抛物线在点P处的切线分别与x轴、y轴交于点B，E，设$\overrightarrow{PE}$=λ$\overrightarrow{PB}$，求证：λ为定值；
（3）在（2）的条件下，直线PF与抛物线C交于另一点A，请问：△PAB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值及此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）抛物线C的焦点$F（\frac{p}{2}，0）$在x轴上，求出p=2．由此能求出抛物线C的方程．
（2）由点P是C上异于坐标原点O的任意一点，设$P（\frac{t^2}{4}，t）（t≠0）$．设切线BP的方程为$y-t=k（x-\frac{t^2}{4}）$．由$\left\{\begin{array}{l}y-t=k（x-\frac{t^2}{4}）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，得：ky²-4y-kt²+4t=0，由此利用根的判别式、切线方程，结合已知条件能证明λ为定值．
（3）设直线FP的方程为x=my+1，由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，得：$\frac{y^2}{4}-my-1=0$，由此利用韦达定理、弦长公式得到S_△PAB=$\frac{1}{8}×（4+{t^2}）×|\frac{4}{t}+t|$，令$f（t）=\frac{1}{8}（4+{t^2}）×|\frac{4}{t}+t|（t≠0）$，则f（t）为偶函数，只需研究函数f（t）在t＞0时的最小值即可．利用导数性质能求出结果．

解答 解：（1）由题意，抛物线C的焦点$F（\frac{p}{2}，0）$在x轴上．…（1分）
在方程2x+y-2=0中，令y=0，得x=1．…（2分）
于是，$\frac{p}{2}=1$．解得p=2．
所以，抛物线C的方程为y²=4x．…（3分）
证明：（2）由点P是C上异于坐标原点O的任意一点，设$P（\frac{t^2}{4}，t）（t≠0）$．
 设切线BP的斜率为k，则切线BP的方程为$y-t=k（x-\frac{t^2}{4}）$．
由$\left\{\begin{array}{l}y-t=k（x-\frac{t^2}{4}）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，消去x并整理得：ky²-4y-kt²+4t=0．…（4分）
由k≠0，考虑到判别式△=16-4k（-kt²+4t）=0．
可得4（kt-2）²=0．所以kt-2=0．故切线BP的斜率$k=\frac{2}{t}$．…（5分）
切线BP的方程为$y-t=\frac{2}{t}（x-\frac{t^2}{4}）$，即$y=\frac{2}{t}x+\frac{t}{2}$．
在$y=\frac{2}{t}x+\frac{t}{2}$中，令x=0，得$y=\frac{t}{2}$．所以点E的坐标为$（0，\frac{t}{2}）$；
在$y=\frac{2}{t}x+\frac{t}{2}$中，令y=0，得$x=-\frac{t^2}{4}$．所以点B的坐标为$（-\frac{t^2}{4}，0）$．…（7分）
所以$\overrightarrow{PE}=（0，\frac{t}{2}）-（\frac{t^2}{4}，t）=（-\frac{t^2}{4}，-\frac{t}{2}）$，$\overrightarrow{PB}=（-\frac{t^2}{4}，0）-（\frac{t^2}{4}，t）=（-\frac{t^2}{2}，-t）$．
所以$\overrightarrow{PE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PB}$．故$λ=\frac{1}{2}$，为定值．…（8分）
解：（3）由直线FP过点F（1，0），
设直线FP的方程为x=my+1．
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，消去x得：$\frac{y^2}{4}-my-1=0$．
由韦达定理，得y_Ay_P=-4．所以${y_A}_{\;}=-\frac{4}{y_P}=-\frac{4}{t}$．…（9分）
于是${S_{△PAB}}=\frac{1}{2}×|BF|×|{y_A}-{y_P}|=\frac{1}{2}×（1+\frac{t^2}{4}）×|-\frac{4}{t}-t|$=$\frac{1}{8}×（4+{t^2}）×|\frac{4}{t}+t|$…（10分）
令$f（t）=\frac{1}{8}（4+{t^2}）×|\frac{4}{t}+t|（t≠0）$，则f（t）为偶函数，只需研究函数f（t）在t＞0时的最小值即可．
当t＞0时，$f（t）=\frac{1}{8}（4+{t^2}）×（\frac{4}{t}+t）=\frac{1}{8}（{t^3}+8t+\frac{16}{t}）$，
$f'（t）=\frac{1}{8}（3{t^2}+8-\frac{16}{t^2}）=\frac{1}{{8{t^2}}}（3{t^4}+8{t^2}-16）=\frac{1}{{8{t^2}}}（3{t^2}-4）（{t^2}+4）$．
当$0＜t＜\frac{2}{{\sqrt{3}}}$时，f'（t）＜0，f（t）为减函数；
当$t＞\frac{2}{{\sqrt{3}}}$时，f'（t）＞0，f（t）为增函数．…（11分）
所以，当t＞0时，函数f（t）在$t=\frac{2}{{\sqrt{3}}}$时取最小值$f（\frac{2}{{\sqrt{3}}}）=\frac{{16\sqrt{3}}}{9}$．
因为f（t）为偶函数，当t＜0时，函数f（t）在$t=-\frac{2}{{\sqrt{3}}}$时取最小值$f（-\frac{2}{{\sqrt{3}}}）=\frac{{16\sqrt{3}}}{9}$．…（12分）
当$t=\frac{2}{{\sqrt{3}}}$时，点P的坐标为$（\frac{1}{3}，\frac{2}{{\sqrt{3}}}）$；当$t=-\frac{2}{{\sqrt{3}}}$时，点P的坐标为$（\frac{1}{3}，-\frac{2}{{\sqrt{3}}}）$．
综上，△PAB的面积存在最小值$\frac{{16\sqrt{3}}}{9}$，
此时点P的坐标为$（\frac{1}{3}，\frac{2}{{\sqrt{3}}}）$或$（\frac{1}{3}，-\frac{2}{{\sqrt{3}}}）$．…（13分）

点评 本题考查抛物线方程的求法，考查实数为定值的证明，考查三角形面积能否存在最小值的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、切线方程、韦达定理、弦长公式、导数性质的合理运用．