Question

11．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=x²-2x+2．
（1）求f（x）在R上的解析式；
（2）设g（x）=f（2^x）+2m-1（m∈R），若对任意x∈R，都有g（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可设x＜0，从而有-x＞0，这便可得到f（-x）=x²+2x+2=-f（x），这便可得到x＜0时f（x）的解析式，而f（0）=0，从而便可写出f（x）在R上的解析式；
（2）2^x＞0，从而可得到g（x）=（2^x）²-2•2^x+2m+1≥0恒成立，可设2^x=t，t＞0，这便可得到m$≥-\frac{{t}^{2}}{2}+t-\frac{1}{2}$，t＞0，恒成立，而$-\frac{{t}^{2}}{2}+t-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}（t-1）^{2}≤0$，从而有m≥0，这便得出了实数m的取值范围．

解答 解：（1）设x＜0，-x＞0，则：
f（-x）=x²+2x+2=-f（x）；
∴f（x）=-x²-2x-2；
又f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}-2x-2，（x＜0）\\ 0，（x=0）\\{x^2}-2x+2，（x＞0）\end{array}\right.$；
（2）由题意g（x）=（2^x）²-2•2^x+2m+1≥0恒成立，设2^x=t，t＞0；
∴t²-2t+2m+1≥0恒成立；
∴$m≥-\frac{t^2}{2}+t-\frac{1}{2}（t＞0）$恒成立，而$y=-\frac{t^2}{2}+t-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}{（t-1）^2}≤0$；
∴m≥0；
∴实数m的取值范围为[0，+∞）．

点评 考查奇函数的定义，对于奇函数，已知一区间上的解析式，求其对称区间上解析式的方法，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，以及指数函数的值域，配方求二次函数范围的方法．