Question

设二次函数．
（1）求函数的最小值；
（2）问是否存在这样的正数，当时，，且的值域为？若存在，求出所有的的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2），．

解析试题分析：（1）这里遇到的是复合函数的最值问题，它是由简单的二次函数与指数函数复合而成的，遵循由内到外的解题顺序，很容易求出最小值；（2）这里是含参数的问题，常规方法是对参数分类讨论，如何分类，即分类的标准是什么？这是重点和难点，看解析往往是知其然，不知其所以然，这里的分类标准是将动区间与二次函数的定对称轴进行比较，自然就会分出它们有三种相对位置关系，即对称轴分别在区间的左、中、右，故讨论分三种情形，当然讨论必须遵守不重不漏的原则，因此我们还必须关注细节，如区间的端点等，学会讨论重要，学会回避讨论更重要，它对化繁为简的能力要求非常高，这里的解法一是分类讨论的，而解法二就回避了讨论，解得很简洁，用心体会一下．
试题解析：（1），令
则为上减函数，因此，则当时，          4分
（2）法一：
①当时，
而当时，的最大值为，故此时不可能使，且的值域为．7分
②当时，
则最大值为,即，
得与矛盾，故此时不可能．                                    10分
③当时，
∵，为减函数，则
于是，即，
，即 
∵，∴，                                13分
综上所述，，．                                    14分
法二：
，
，即，即，为减函数，
于是，即，
，即 
∵，∴，                                14分
考点：1．函数性质的研究；2．含参数问题的讨论；3．函数、方程与不等式的综合．