Question

9．正项等比数列{a_n}中的a₁，a₄₀₃₃是函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-3$的极值点，则log₆a₂₀₁₇=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{1}{2}$
• D． -1

Answer 1

分析 f′（x）=x²-8x+6，由正项等比数列{a_n}中的a₁，a₄₀₃₃是函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-3$的极值点，利用韦达定理得a₁×a₄₀₃₃=6，从而${a}_{2017}=\sqrt{{a}_{1}×{a}_{4033}}$=$\sqrt{6}$，由此能求出log₆a₂₀₁₇．

解答 解：∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-3$，
∴f′（x）=x²-8x+6，
∵正项等比数列{a_n}中的a₁，a₄₀₃₃是函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-3$的极值点，
∴a₁×a₄₀₃₃=6，
∴${a}_{2017}=\sqrt{{a}_{1}×{a}_{4033}}$=$\sqrt{6}$，
∴log₆a₂₀₁₇=$lo{g}_{6}\sqrt{6}=\frac{1}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意导数性质、韦达定理、等比数列性质的合理运用．