Question

14．（Ⅰ）求不等式-2＜|x-1|-|x+2|＜0的解集．
（Ⅱ）设a，b，均为正数，$h=max\{\frac{2}{{\sqrt{a}}}，\frac{{{a^2}+{b^2}}}{{\sqrt{ab}}}，\frac{2}{{\sqrt{b}}}\}$，证明：h≥2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，得到-2＜-2x-1＜0，求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）求出h³≥8，从而求出h的范围．

解答 解：（Ⅰ）记f（x）=|x-1|-|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{3，x≤-2}\\{-2x-1，-2＜x＜1}\\{-3，x≥1}\end{array}\right.$，
由-2＜-2x-1＜0，解得：-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$，
则不等式的解集为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
（Ⅱ）证明：$h≥\frac{2}{{\sqrt{a}}}，h≥\frac{{{a^2}+{b^2}}}{{\sqrt{ab}}}，h≥\frac{2}{{\sqrt{b}}}$，
${h^3}≥\frac{{4（{a^2}+{b^2}）}}{ab}≥\frac{4×2ab}{ab}=8$，
故 h≥2．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的性质，是一道中档题．