【题目】已知函数的定义域是
的一切实数,对定义域内的任意
,都有
且当
时,
.
(1)求证:是偶函数;
(2)求证:在
上是增函数;
(3)试比较与
的大小.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
【解析】
(1)根据题意和式子的特点,先令x1=x2=1求出f(1)=0,令x1=x2=﹣1,求出f(﹣1)=0,再令x1=﹣1,x2=x求出f(﹣x)=f(x),则证出此函数为偶函数;
(2)先任取x2>x1>0,再代入所给的式子进行作差变形,利用x2和
且
0,判断符号并得出结论;
(3)利用奇偶性与单调性比较大小即可.
解:(1)由题意知,对定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),
令x1=x2=1,代入上式解得f(1)=0,
令x1=x2=﹣1,代入上式解得f(﹣1)=0,
令x1=﹣1,x2=x代入上式,∴f(﹣x)=f(﹣1x)=f(﹣1)+f(x)=f(x),
∴f(x)是偶函数;
(2)设x2>x1>0,则
∵x2>x1>0,∴,∴
0,
即f(x2)﹣f(x1)>0,∴f(x2)>f(x1)
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)∵f(x)是偶函数,∴,
又f(x)在(0,+∞)上是增函数,且,
∴,
即.
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【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在
轴上,短轴长为
,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点,过右焦点
与
轴不垂直的直线交椭圆于
,
两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)当直线的斜率为
时,求
的面积.
(Ⅲ)在线段上是否存在点
,使得经
,
为领边的平行四边形是菱形?若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】设函数,
是定义域为
的奇函数.
(1)确定的值;
(2)若,函数
,
,求
的最小值;
(3)若,是否存在正整数
,使得
对
恒成立?若存在,请求出所有的正整数
;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知定义在上的奇函数
.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 若存在,使不等式
有解,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)已知函数满足
,且规定
,若对任意
,不等式
恒成立,求实数
的最大值.
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【题目】已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其图象最低点的纵坐标是-,相邻的两个对称中心是(
,0)和(
,0).求:
(1)f(x)的解析式;
(2)f(x)的值域;
(3)f(x)图象的对称轴.
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【题目】如图是一个几何体的平面展开图,其中四边形为正方形,
,
,
,
为全等的等边三角形,
、
分别为
、
的中点,在此几何体中,下列结论中正确的个数有()
①平面平面
②直线与直线
是异面直线
③直线与直线
共面
④面与面
的交线与
平行
A. 3B. 2C. 1D. 0
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【题目】某国际性会议纪念章的一特许专营店销售纪念章,每枚进价为5元,同时每销售一枚这种纪念章还需向该会议的组织委员会交特许经营管理费2元,预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时,该店一年可销售2000枚,经过市场调研发现,每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上,每减少一元则增加销售400枚,而每增加一元则减少销售100枚,现设每枚纪念章的销售价格为元(每枚的销售价格应为正整数).
(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润(元)与每枚纪念章的销售价格
的函数关系式;
(2)当每枚纪念章销售价格为多少元时,该特许专营店一年内利润
(元)最大,并求出这个最大值;
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