Question

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），其中（ω＞0，|φ|＜

π

2

）一段图象（如图）所示．
（1）求解析式．
（2）已知函数g（x）与f（x）关于直线x=

π

8

对称，直线x=t（t∈R）与函数f（x）、g（x）的图象分别交于M、N两点，求|MN|在t∈[0，

π

2

]时的最大值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：（1）由f（0）=2sinφ=1，|φ|＜

π

2

，可求得φ=

π

6

，易求ω＞

18

11

，又ω×

11π

12

+

π

6

=2kπ（k∈Z），可求得ω=2，于是可得函数y=f（x）的解析式；
（2由函数g（x）与f（x）关于直线x=

π

8

对称，可求得g（x）=2sin（2x+

π

3

），利用和差化积公式可求得|MN|=（

6

-

2

）cos（2t+

π

4

），利用余弦函数的单调性与最值，可求得|MN|在t∈[0，

π

2

]时的最大值．

解答： 解：（1）∵f（0）=2sinφ=1，
∴sinφ=

1

2

，又|φ|＜

π

2

，
φ=

π

6

，
∴f（x）=2sin（ωx+

π

6

），
∵0＜

3

4

•

2π

ω

＜

11π

12

，
∴ω＞

18

11

；
又ω×

11π

12

+

π

6

=2kπ（k∈Z），
∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
（2）∵函数g（x）与f（x）关于直线x=

π

8

对称，
∴g（x）=f（

π

4

-x）=2sin[2（

π

4

-x）+

π

6

]=2cos（2x-

π

6

）=2sin（2x+

π

3

），
∵直线x=t（t∈R）与函数f（x）、g（x）的图象分别交于M（t，2sin（2t+

π

6

））、N（t，2sin（2t+

π

3

））两点，
∴|MN|=|2sin（2t+

π

3

）-2sin（2t+

π

6

）|
=2×2cos（2t+

π

4

）sin

π 3 - π 6

2

=4cos（2t+

π

4

）sin

π

12

=4sin（

π

3

-

π

4

）cos（2t+

π

4

）
=4×

6 - 2

4

cos（2t+

π

4

）
=（

6

-

2

）cos（2t+

π

4

），
∵t∈[0，

π

2

]，
∴2t+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴cos（2t+

π

4

）∈[-

2

2

，

2

2

]，
∴|MN|_max=（

6

-

2

）×

2

2

=

3

-1．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得ω的值与g（x）的解析式是关键，也是难点，考查转化思想与综合应用能力，属于难题．