Question

在直角坐标系xOy中，点M(2，－)，点F在抛物线C：y＝mx²(m>0)的焦点，线段MF恰被抛物线C平分．

(1)求m的值；

(2)过点M作直线l交抛物线C于A、B两点，设直线FA、FM、FB的斜率分别为k₁、k₂、k₃，问k₁、k₂、k₃能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l的方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

 (1)由题得抛物线C的焦点F的坐标为(0，)，线段MF的中点N(1，－)在抛物线C上，

∴－＝m,8m²＋2m－1＝0，∴m＝(m＝－舍去)．

(2)由(1)知抛物线C：x²＝4y，F(0,1)．

设直线l的方程为y＋＝k(x－2)，A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，

假设k₁、k₂、k₃能成公差不为零的等差数列，则k₁＋k₃＝2k₂.

解得k＝－(符合题意)或k＝－(不合题意，舍去)．

∴直线l的方程为y＋＝－(x－2)，

即x＋2y－1＝0.

∴k₁、k₂、k₃能成公差不为零的等差数列，此时直线l的方程为x＋2y－1＝0.