Question

如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.

(1)设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；

(2)证明在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．

 

Answer 1

　(1)

证明：如图，连接OP，以点O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，由条件知，OA＝OC＝8，PO＝6，OB＝8，则O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0，0,6)，E(0，－4,3)，F(4,0,3)，G(0,4,0)．

因为＝(8,0,0)，＝(0，－4,3)，

所以平面BOE的法向量n＝(0,3,4)，

由＝(－4,4，－3)，得n·＝0.

又直线FG不在平面BOE内，

所以FG∥平面BOE.

(2)设点M的坐标为(x₀，y_0,0)，

则＝(x₀－4，y₀，－3)．

要使FM⊥平面BOE，只需∥n，

因此x₀＝4，y₀＝－，

即点M的坐标是(4，－，0)．

在平面直角坐标系xOy中，△AOB的内部区域可表示为不等式组

经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在△AOB内存在一点M，使FM⊥平面BOE.

由点M的坐标得点M到OA，OB的距离分别为4，.