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    15．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，点P为线段A1C上的动点（包含线段端点），则下列结论正确的①②④
    ①当$\overrightarrow{{A_1}C}=3\overrightarrow{{A_1}P}$时，D1P∥平面BDC1；
    ②当$\overrightarrow{{A_1}C}=3\overrightarrow{{A_1}P}$时，A1C⊥平面D1AP；
    ③∠APD1的最大值为90°；
    ④AP+PD1的最小值为$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．

    分析 利用三棱锥A-A1B1D1的体积可知当$\overrightarrow{{A_1}C}=3\overrightarrow{{A_1}P}$时，P为A1C与平面AB1D1的交点，根据平面AB1D1∥平面BDC1可判断①，根据A1C⊥平面AB1D1可判断②，根据等边三角形AB1D1可判断③，根据Rt△A1AC≌Rt△A1D1C可判断④．

    解答 解：对于①，连结AB1，B1D1，AD1，则V${\;}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{6}$，
    S${\;}_{△A{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A1C=$\sqrt{3}$，
    设A1到平面AB1D1的距离为h，则$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×h$=$\frac{1}{6}$，解得h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
    ∴h=$\frac{1}{3}$A1C．
    ∴当$\overrightarrow{{A_1}C}=3\overrightarrow{{A_1}P}$时，P为A1C与平面AB1D1的交点．
    ∵平面AB1D1∥平面BDC1，
    ∵D1P?平面AB1D1，∴D1P∥平面BDC1，故①正确；
    对于②，由①可知P∈平面AB1D1，
    ∵A1C⊥平面AB1D1，∴A1C⊥平面D1AP，故②正确；
    对于③，由①可知当$\overrightarrow{{A_1}C}=3\overrightarrow{{A_1}P}$时，P为等边△AB1D1的中心，
    ∴∠APD1=120°，故③错误；
    对于④，连结AC，D1C，则Rt△A1AC≌Rt△A1D1C，∴AP=D1P，
    ∴AP的最小值为$\frac{A{A}_{1}•AC}{{A}_{1}C}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
    ∴AP+PD1的最小值为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．故④正确．
    故答案为：①②④．

    点评 本题考查了正方体的几何特征，空间线面位置关系的判定，属于中档题．

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    男性女性合计
    反对10
    支持8
    合计30
    已知在这30人中随机抽取1人抽到反对“规范网络用语”的网民的概率是$\frac{7}{15}$．
    （1）请将上面的列联表补充完整；
    （2）根据题目提供的资料分析，是否有95%的把握认为反对“规范网络用语”与性别有关？并说明理由；
    （3）若从这30人中的女网民中随机抽取2人参加一项活动，记反对“规范网络用语”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望
    附参考公式：K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．
     P（K2≥k0）0.150.100.050.0250，0100.0050，001
     k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

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    20．已知函数f（x）=ax3-bx+2（a＞0）
    （1）在x=1时有极值0，试求函数f（x）的解析式；
    （2）求f（x）在x=2处的切线方程．

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    7．如图是一个算法的流程图，则输出的a值为（　　）
    A．511B．1023C．2047D．4095

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