Question

20．已知函数f（x）=ax³-bx+2（a＞0）
（1）在x=1时有极值0，试求函数f（x）的解析式；
（2）求f（x）在x=2处的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可得f（1）=0，且f′（1）=0，得到a，b的方程，解方程可得a，b的值，进而得到f（x）的解析式；
（2）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求切线的方程．

解答 解：（1）函数f（x）=ax³-bx+2的导数为f′（x）=3ax²-b，
在x=1时有极值0，可得f（1）=0，且f′（1）=0，
即为a-b+2=0，且3a-b=0，
解得a=1，b=3，
可得f（x）=x³-3x+2；
（2）f′（x）=3ax²-b，
可得f（x）在x=2处的切线斜率为12a-b，
切点为（2，8a-2b+2），
即有f（x）在x=2处的切线方程为y-（8a-2b+2）=（12a-b）（x-2），
化为（12a-b）x-y-16a+2=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和极值，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．