Question

15．已知函数f（x）=|x+2|-|x-3|．
（1）试求f（x）的值域；
（2）设g（x）=$\frac{a{x}^{2}-5x+5}{x}（a＞0）$，若对任意x₁∈（0，+∞），任意x₂∈（-∞，+∞）恒有g（x₁）≥f（x₂）成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化为分段函数，即可求出函数的值域，
（2）根据基本不等式求出g（x）_min，若任意x₁∈（0，+∞），任意x₂∈（-∞，+∞）恒有g（x₁）≥f（x₂）成立，则有g（x）_min＞f（x）_max，即可得到关于a的不等式，解得即可．

解答 解：（1）函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-5，x≤-2}\\{2x-1，-2＜x＜3}\\{5，x≥3}\end{array}\right.$，
∴f（x）的值域为[-5，5]，
（2）若x＞0，则g（x）=$\frac{a{x}^{2}-5x+5}{x}$=ax+$\frac{5}{x}$-5≥2$\sqrt{5a}$-5，
当ax²=5时，g（x）_min=2$\sqrt{5a}$-5，
由（1）知，f（x）_max=5，
若任意x₁∈（0，+∞），任意x₂∈（-∞，+∞）恒有g（x₁）≥f（x₂）成立，
则有g（x）_min＞f（x）_max，
∴2$\sqrt{5a}$-5≥5，
解得a≥5，
故a的取值范围为[5，+∞）

点评 本题考查了绝对值函数，和不等式恒成立的问题，关键是转化，属于中档题．