Question

如图，六棱锥的底面是边长为1的正六边形，底面。
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若直线PC与平面PDE所成角为，求三棱锥高的大小。

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）由线线垂直得到线面垂直CD⊥平面PAC，进而求证出面面垂直；（Ⅱ）由已知条件求出S_△PCD和S_△BCD，再利用等体积法求出三棱锥B-PCD的高.
试题解析：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF中，CD⊥AC．
因为PA⊥底面ABCDEF，CDÌ平面ABCDEF，所以CD⊥PA． 
又AC∩PA＝A，所以CD⊥平面PAC．
因为CDÌ平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD．

（Ⅱ）直线PC与底面ABCDEF所成的角∠PCA＝45°．
在Rt△PAC中，AC＝，所以PA＝，PC＝，
即三棱锥P-BCD的高为，
S_△PCD＝PC·CD＝，S_△BCD＝BC·CD sin120°＝，
设三棱锥B-PCD高为h，由V_P-BCD＝V_B-PCD，得：
S_△BCD·PA＝S_△PCD·h，
经计算可得：h＝，
所以三棱锥B-PCD高为．