Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分别为PB，PD的中点．

(1)证明：MN∥平面ABCD；
(2) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．

Answer 1

(1)只需证 MN∥BD；(2)。

试题分析：(1)如图，连接BD.∵M，N分别为PB，PD的中点，∴在△PBD中，MN∥BD.
又MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD.
(2)如图建系：A(0,0,0)，P(0,0,2)，M，N(，0，)，C(，3,0)．
设Q(x，y，z)，则C＝(x－，y－3，z)，C＝(－，－3，2)．
∵C＝λC＝(－λ，－3λ，2λ)，∴Q(－λ，3－3λ，2λ)．
由A⊥C⇒A·C＝0，得λ＝.即：Q
对于平面AMN：设其法向量为n＝(a，b，c)．
∵A＝，A＝(，0，)．
则⇒⇒
∴n＝.
同理对于平面QMN，得其法向量为v＝
记所求二面角A－MN－Q的平面角大小为θ，则cosθ＝.
∴所求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值为.
点评：二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种：①综合法，综合法的一般步骤是：一作二说三求。②向量法，运用向量法求二面角应注意的是计算。很多同学都会应用向量法求二面角，但结果往往求不对，出现的问题就是计算错误。