Question

如图，已知四棱锥中，平面，底面是直角梯形，
且.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）若是的中点，求三棱锥的体积.

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）.

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景，考查线面平行、线面垂直以及三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化能力、计算能力.第一问，利用ABCD为直角梯形，所以得到AB//CD，利用线面平行的判定，得AB//平面PCD；第二问，在三角形ABC中，先利用余弦定理求出AC边长，再根据勾股定理判断，而，利用线面垂直的判定，平面PAC；第三问，由于平面ADC，所以M到平面ADC的距离为PA的一半，将转化为，作，在三角形ACB中，解出AE和CE的值，即AD和DC的值，即可得到直角三角形ADC的面积，从而利用三棱锥的体积公式计算体积.
试题解析：（1）底面是直角梯形，且,
，                               1分
又平面     2分
平面                 3分
∴∥平面                4分
（2），，

                           5分
则
∴             6分
平面 ，平面
∴              7分
又             8分
∴平面                   9分
（3）在直角梯形中，过作于点，
则四边形为矩形，         10分
在中可得
 
故           11分
∵是中点，
∴到面的距离是到面距离的一半                   12分
∴          14分