Question

如图，已知DE⊥平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点。

（I）求证：AF//平面BCE；
（II）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（III）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小。

Answer 1

（I）（II）见试题解析；（III）．

试题分析：（I）要证明线面垂直，就是要在平面BCE中找一条与AF垂直的直线，这条直线容易看出是平面BAF与平面BCE的交线，当然根据已知条件，辅助线可直接取CE中点P，直线BP就是我们要找的平等线；（II）本证面面垂直，先要证线面垂直，先看题中有没有已知的垂直关系，发现有直线AF与平面CDE垂直，而在（I）的证明中有BP//AF，BP就是我们要找的线面垂直中的线；（III）平面BCE与平面ACD有一个公共点C，依据二面角的定义，要选作出二面角的棱，然后作出平面角，才能求出二面角的大小，但由（I）题中有两两垂直的三条直线FA，FP，AD，故我们可建立空间直角坐标系，通过空间向量来求二面角大小．
试题解析：（I）解：取CE中点P，连结FP、BP，∵F为CD的中点，
∴FP//DE，且FP= 又AB//DE，且AB=
∴AB//FP，且AB=FP， ∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP。
又∵AF平面BCE，BP平面BCE， ∴AF//平面BCE。             3分
（II）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD。∵AB⊥平面ACD，DE//AB，
∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，∴DE⊥AF。又AF⊥CD，CD∩DE=D，
∴AF⊥平面CDE。又BP//AF，∴BP⊥平面CDE。
又∵BP平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE。                7分
（III）由（II），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），建立空间直角坐标系F—xyz.设AC=2，则C（0，—1，0），


显然，为平面ACD的法向量。
设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为
，
即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°。                13分